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our lead form
.
im
δ
n
→
ker
δ
n
−
1
↗
↘
↙
ZG
n
+
1
→
δ
n
ZG
n
→
δ
n
−
1
ZG
n
−
1
↙
↘
↗
coker
δ
n
→
im
δ
n
−
1
\array{ && im \delta_n &&\to&& ker \delta_{n-1} \\ & \nearrow && \searrow && \swarrow \\ ZG_{n+1} &&\stackrel{\delta_n}{\to}&& ZG_n &&\stackrel{\delta_{n-1}}{\to}&& ZG_{n-1} \\ & && \swarrow && \searrow && \nearrow \\ && coker \delta_n &&\stackrel{}{\to}&& im \delta_{n-1} }
ω
(
v
,
w
)
=
g
(
J
(
v
)
,
w
)
AAAAA
g
(
v
,
w
)
=
ω
(
v
,
J
(
v
)
)
\omega(v,w) \;=\; g(J(v),w) \phantom{AAAAA} g(v,w) \;=\; \omega(v,J(v)) \,.